2024년 대비, 2023 9월 모의고사 수학 22번 풀이 - 고3

2023년 9월 6일 실시된 한국교육과정평가원이 출제한 2024학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 22번 풀이이다.

먼저, 문제 조건 (가)의 식에서 x=1을 대입해 본다.

위와 같이 대입해 보니, 등호 왼쪽 식은 0이 되고, 오른쪽은 f(1)-3이 되므로 0=f(1)-3에서 f(1)=3이 됨을 알 수 있다.

또한, 이 식의 양변을 미분하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

따라서, f(x)=4x+C로 쓸 수 있는데, f(1)=3이라고 계산했으므로 f(x)=4x-1이 된다.

f(x)와 g(x)의 한 부정적분을 각각 F(x), G(x)라고 했으므로 f(x)=4x-1에서 F(x)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

주어진 조건 (나)의 등호 왼쪽은 F(x)와 G(x)의 곱을 미분한 것과 같다. 따라서 조건 (나)를 F(x)와 G(x)의 곱으로 표현하면, 등호 오른쪽은 적분한 값과 같으므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

앞에서 계산한 F(x)의 값을 대입하면 다음과 같다.

위 계산식에서 G(x)는 4차식을 앞에 있는 2차식으로 나눈 값으로 2차식이 된다. 이차항의 계수는 1이 되고, 일차항의 계수도 1이 된다. 이때, 상수항의 계수는 구하지 않아도 된다. 왜냐하면, 우리는 G(x)를 미분한 g(x) 값을 알아야 하기 때문이다. G(x)를 미분하면 상수항은 0이 되므로 G(x)의 상수항은 구하지 않아도 된다.