2024 7월 모의고사 수학 22번 해설 - 2023년 7월 11일 시행

 

킬러 문항의 논란 속에 2024년 대비 7월 모의고사가 인천교육청 주관으로 오늘 실시되었다. 문제 출제가 킬러 문항 이전에 이루어진 탓에 이러한 배제 방침이 적용되지 않았다고 한다.

항상 그렇지만, 모든 시험은 어렵다. 여기서 어렵다는 것은 문제 난이도를 말하는 것이 아니다. 

아주 오래전 일이지만, 대입 입시 문제의 난이도가 쉬웠다 어려웠단 춤을 추었던 그러한 시험을 보았던 경험을 상기해 보니 어떤 시험을 보던, 그 결과가 항상 어렵다는 뜻으로 이해하면 좋겠다. 인생에서 시험에서 전부는 아니라는 생각을 가지면서 말이다.

올해의 7월 모의 평가 수학 22번의 풀이를 해 보자.

먼저, g(x) 관한 식이 주어졌고, g(x)=0이며, 이를 만족하는 서로 다른 실근의 개수를 h(t)라고 주어졌다. 여기서 g(x)=0이므로 제일 먼저 주어진 식 g(x)=0을 놓고 생각한다. 그리고 h(t)는 실근의 개수이므로 0, 1개, 2개, 3개, ~가 될 수 있음을 염두에 두자.

위 식에서 f(t)와 t는 상수이므로 우변으로 이항하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

이렇게 써 놓고 보니, 좌변은 사차함수가 되고, 우변은 상수항이 된다. 즉, 사차함수와 상수가 만나는 실근의 개수가 h(t)가 됨을 알 수 있다.

조건 (가)는 다음과 같이 제시되었다.

위 그래프에서 x=-1-, x=-1+일 때 근의 개수와 x=1-, x=1+일 때의 실근의 개수는 아래 그래프처럼 4개가 됨으로 조건 (가)가 성립함을 알 수 있다.

위 식은 t=-1 때와 t=1일 때, 실근의 개수 h(t)는 각각 불연속이 된다는 것을 알려주고 있으며, 불연속이 된다는 것은 사참함수 f(x)-x와 직선 f(t)-t이 각각 x=-1과 x=1에서 접한다는 것을 알 수 있다. 그래프 개형을 그리면 다음과 같다. 즉 x=-1일 때 h(-1)와 x=1일 때 h(1)의  실근 개수는 각각 2개가 됨을 알 수 있다.

위 그래프의 직선의 기울기는 앞에서 x≠t일 때, f(x)-x-f(t)+t=0는 다음과 같이 쓸 수 있으므로 1이 된다.

따라서 직선의 그래프는 f(x)=x+m이라고 하고 위 그래프는 4차항의 계수를 a라고 하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

조건(나)는 다음 식을 만족하는 실수 α의 최솟값이 -1이라고 제시되어 있다.

위 식은 0에서  α까지 적분한 값과 0에서 α까지의 넓이가 같다는 말이므로 f(x)≥0이 되며, α의 최솟값이 -1이므로 f(-1)=0이 되어야 한다.

따라서 직선 f(x)=x+m에서 -1+m=0이므로 m=1이 된다.

마지막으로 조건 (다)는 식을 미분하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

위 식은 4차함수 f(x)와 일차함수 kx가 접하거나 만나지 않는 다는 것을 의미하며, 이때 기울기 k의 최댓값이 루트2이므로 위에서 그림 마지막 그래프는 다음과 같은 모습이 된다. 즉, 두 그래프는 (루트2, f(루트2)에서 접하게 된다.

접하는 직선의 기울기가 루트2므로 4차함수를 미분하여 루트 2를 대입한 값을 곱하면 그 값이 f(루트2)가 되어야 하므로 다음과 같이 계산할 수 있다.

이 방정식을 풀면 a는 1/7이 되고, 구하고 하는 최종 4차함수 f(x)는 다음과 같다.

마지막으로 구하고자 하는 f(6)의 값은 위 식에 x 대신에 6을 대입해서 계산하면 될 것이다.